可以向公司提出签订劳动合同请求；如果公司仍然不愿签订申请仲裁解除劳动关系，并申请从第二个月开始计算双倍工资赔偿

您这边主要是两个问题，首先根据《劳动合同法》规定社保在签订劳动合同入职后就要缴纳；其次根据《劳动合同法》关于试用期有关规定，劳动合同期限三个月以上不满一年的，试用期不得超过一个月；劳动合同期限一年以上不满三年的，试用期不得超过二个月；三年以上固定期限和无固定期限的劳动合同，用期不得超过六个月。同一用人单位与同一劳动者只能约定一次试用期。以完成一定工作任务为期限的劳动合同或者劳动合同期限不满三个月的，不得约定试用期。试用期包含在劳动合同期限内。劳动合同仅约定试用期的，试用期不成立，该期限为劳动合同期限。所以您这边转正日期需要看劳动合同中的具体约定，也要看劳动合同中约定的期限来综合认定。